Calcul de mesures transitoires sur de grands espaces d'états, IRISA-ID

La sûreté de fonctionnement d'un système informatique, est la propriété qui permet à ses utilisateurs de placer une confiance justifiée dans le service qu'il leur délivre. La vie d'un système est perçue par ses utilisateurs comme une alternance entre deux états du service délivré par rapport à l'accomplissement de la fonction du système. Ces deux états du service sont le service correct, où le service délivré accomplit la fonction du système, et le service incorrect, où le service délivré n'accomplit pas la fonction du système. Une défaillance est alors une transition de service correct à service incorrect et une transition de service incorrect à service correct est une restauration. On représente généralement l'évolution du système par une chaîne de Markov $\{X_t\}$ évoluant en temps continu sur un espace d'états $E$ fini. On se donne alors une partition de l'espace d'états $E$ en deux sous-ensembles: l'ensemble $U$ des états opérationnels qui représentent les états du système correspondant à la délivrance du service correct et l'ensemble $D$ des états non opérationnels qui représentent les états du système correspondant à la délivrance du service incorrect. On peut ainsi voir l'évolution du système à travers une suite alternée de périodes opérationnelles où le service délivré est correct et de périodes non opérationnelles où le service délivré est incorrect. Les mesures de la sûreté de fonctionnement s'expriment alors en fonction du processus $\{X_t\}$ de la façon suivante.

La fiabilité, qui mesure de la délivrance continue d'un service, est une fonction notée $R(t)$ définie pour $t \in R^{+}$ par

$$R(t) = \Pr\{X_s \in U,\;\forall s \in [0,t[\}.$$

La disponibilité ponctuelle, qui est la probabilité d'avoir un service correct à un instant donné, est une fonction notée $PAV(t)$ définie pour $t \in R^+$ par

$$PAV(t) = \Pr\{X_t \in U\}.$$

La disponibilité sur l'intervalle $[0,t)$ est une variable aléatoire, qui mesure la fraction de temps pendant lequel le service est correct sur un intervalle de temps donné. Elle est notée $IAV(t)$ et définie pour $t \in R^+$ par

$$IAV(t) = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} 1_{\{X_s \in U\}} ds.$$

Nous avons décidé de nous intéresser dans un premier temps au calcul de la fiabilité et au calcul de la disponibilié ponctuelle. Nous avons développé, en langage C, les algorithmes correspondant à ces 2 mesures et nous étudions actuellement la façon de les intégrer dans le logiciel PEPS de manière à permettre la spécification de modèles de grands systèmes. Cette intégration nécessite une attention particulière puisqu'il s'agit de transcrire les opérations matricielles classiques utilisées dans les programmes C en termes d'opérations de l'algèbre tensorielle utilisées dans le logiciel PEPS. Lorsque cette intégration aura eu lieu, suivra une phase de tests où l'on vérifiera que les résultats produits par PEPS et ceux produits par les programme C sont bien identiques. Lors de cette phase de tests, on s'intéressera aussi de près aux différents temps d'exécution qui détermineront les tailles des espaces d'états permettant d'être traités pour le calcul de ces mesures.

Des résultats récents sur le calcul de la disponibilité ponctuelle ont permis la mise au point de techniques permettant de diminuer le temps de calcul par détection du régime stationnaire. On procèdera alors de la même façon pour voir si ces techniques peuvent s'implanter efficcement dans le logiciel PEPS.

Enfin, si le temps le permet, nous essaierons de compléter le calcul de ces mesures par le calul de la moyenne et de la distribution de la disponibilité sur intervalle.