Simulation d'événements rares par les méthodes de Monte Carlo, IRISA

La simulation de type Monte Carlo est le seul outil d'analyse lorsque les hypothèses faites sur le modèle ne sont pas suffisamment strictes ou lorsque l'espace d'états est trop grand pour être traité par les méthodes précédentes. La simulation standard, c'est à dire mimant directement le comportement du système, s'avère cependant totalement inefficace lorsqu'il s'agit d'étudier des événements rares; des techniques dites d'accélération, consistant à réduire la variance des estimateurs ou à diminuer le temps de simulation, sont alors nécessaires.

Nous travaillons sur les estimateurs d'événements rares en général, et étudions leur robustesse lorsque les événements deviennent de plus en plus rares. Ceci est mathématiquement caractérisé par l'introduction d'un paramètre $\varepsilon$ tel que, lorsque $\varepsilon\rightarrow 0$, la probabilité $\gamma$ de l'événement considéré vérifie $\gamma\rightarrow 0$. En pratique, $\varepsilon$ peut représenter par exemple le taux de défaillance maximal d'un composant (pour les modèles dynamiques) ou la fiabilité d'un composant (pour les modèles statiques). Dans les modèles de performance, $\varepsilon=1/B$ où $B$ est la taille d'un tampon lorsqu'on cherche la probabilité de perte. Dans la litérature, les propriétés de robustess habituellement étudiées sont l'erreur relative bornée, qui consiste à vérifier si la taille relative de l'intervalle de confiance (théorique) obtenu reste majorée lorsque $\varepsilon\rightarrow 0$, c'est à dire lorsque l'événement devient de plus en plus rare. Une autre propriété (plus faible) est celle d'optimalité asymptotique pour les estimateurs utilisant l'échatillonnage préférentiel. Au cours de travaux précédents, nous avions mis en évidence une autre propriété, appelée approximation normale bornée, qui certifie que le niveau de confiance (c'est à dire la probabilité que la valeur cherchée soit dans l'intervalle considéré) de l'estimation reste valide lorsque $\varepsilon\rightarrow 0$ pour une taille d'échantillon fixée.

Nos travaux consistent à généraliser ces notions de robustesse asymptotique des estimateurs; nous avons ainsi pu montrer qu'il existe des estimateurs d'événements rares efficaces pour lesquels les propriétés de la litérature que nous venons de rappeler ne sont pas vérifiées, illustré sur un problème de fiabilité d'un réseau de communication. Ce problème vient du fait que les propriétés n'intègrent pas une composante importante d'un estimateur: le temps de simulation par réplication. Ceci nous a conduit à définir les notions d'efficacité relative bornée et d'approximaton normale bornée généralisée (comme généralisations de l'erreur relative bornée et de l'approximation normale bornée respectivement), qui étudient respectivement la robustesse de la taille relative et du niveau de confiance de l'intervalle de confiance lorsque $\varepsilon\rightarrow$, mais pour un temps de simulation donné au lieu d'un nombre de réplications donné. Ces propriétés sont illustrées être en fait celles qu'un estimateur doit vérifier. De même, nous nous intéressons à la fonction de couverture des estimateurs, la notion d'approximation normale bornée, basée sur le théorème de Berry-Esseen qui borne la distance entre la loi empirique et la loi normale, ne donnant qu'une condition suffisante pour obtenir une bonne couverture, mais a priori non nécessaire. La fonction de couverture permet d'étudier empriquement la qualité de l'intervalle.